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外匯期權二項式定價公式推導及經濟涵義
期權交易是八十年代以來國際市場頗具特色的合同交易，其最基本用途是為了轉移利率和匯率變動風險，最大特點是在保留從有利價格變動中獲取收益可能性的同時，也防止了不利價格變動可能帶來的更大損失。另外，期權是許許多多有價證券、金融工具的建筑砌塊，因此無論怎樣強調期權定價的重要性都不過分。 Black─Scholes（1973）假設股票價格的對數變化遵循Wiener-Levy過程，建立一個使用期權、股票的無風險套期保值資產組合，導致一個偏微分方程式，解一個熱力學擴散方程，得到期權價格解析解，即著名的不支付紅利的歐式股票Call期權定價公式；Garman與Kohlhagen（1983）及Grabbe（1983）等人基于同樣思路，建立一個使用期權、國內貨幣債券和國外貨幣債券的無風險套期保值資產組合，得到歐式外匯Call期權定價公式，以上都要使用較多的隨機過程及解偏微分方程的知識。期權定價的另一思路是Cox、Ross和Rubinstein（1979）使用二項式分布得出的變動概率代替價格對數變化遵循Wiener-Levy過程的假設，利用代數知識得出一般的歐式和美式期權定價公式，隨后Geske和Johnson（1984）推導出美式期權定價精確解析式。本文目的一是通過二項式定價公式推導過程，進一步解釋推導中假設條件的涵義；二是給出可適用于各類期權計算思路及結論。 首先，利用期權拋補的利率平價關系得到單周期外匯Call期權二項式定價公式；其次，給出一般表達式。 一、期權拋補的利率平價關系 由于國際外匯市場與國際貨幣市場通過廣義利率平價關系聯系在一起，與遠期拋補利率平價（forward-cover IRP）類似，貨幣期權市場也給出另一種期權拋補利率平價（option-cover IRP）關系，以下就根據無風險資產組合（即套利）過程，不考慮傭金因素，單周期二項式即期價格分布推導Call期權價格計算公式。設 S＝周期初即期匯率，以每一個外幣相當于若干本幣來表示 Co＝周期初外幣Call期權價格 X＝執行價格，以每一個外幣相當于若干本幣來表示 t＝單周期Call期權有效期，單位：年 r＝本幣無風險利率，單位：％p.a. f＝外幣無風險利率，單位：％p.a. St＝期末的即期匯率 第一步：根據二項式價格分布涵義，設將來（單周期末的）即期匯率只有uS和dS兩個值，看一看周期末即期匯率分布和外幣Call價值分布： 不失一般性，可假設 u＞d＞0 （1） 當即期匯率從期初S升值到期末St＝uS，則此時外幣Call價值 Cu＝max{0，uS－X}≥0 （2） 當即期匯率從期初S貶值到期末St＝dS，則此時外幣Call價值 Cd＝max{0，dS－X}≥0 （3） 根據期權性質，Co≥0 （4） 以上條件也就是推導期初Call價值計算公式時所依據的邊界條件。從期初到期末匯率分支如圖1，外幣Call價值分支如圖2.期初即期匯率 期末即期匯率 期初Call權 期末Call權│ │ 價值 價值
│ ↓ │ ↓
↓ φ uS ↓ Cu＝max{0,uS－X} S Co 1－φ dS Cd＝max{0,dS－X} 圖1 單周期即期匯率二項式分支圖 圖2 外幣Call價值二項式分支圖 第二步：利用Call期權與其它金融工具構造無風險套期保值資產組合（即該期權組合保持δ中性）。構造該無風險資產組合的關鍵是推導出該組合中現貨市場金融工具（如外幣債券）數量與該周期內期權數量的套期比率H（Hedging Ratio）。 假設某投資者周期末持有一單位外幣債券多頭和H個外幣Call期權空頭，那么，首先要求出以本幣衡量的套期保值組合的期末價值Vt，其結果參見表1. 表1 套期保值組合的總期末價值（以本幣衡量）
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