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“三角形的中位線”教學設計案例
摘要：本文從設計思路、教學過程、板書設計和課后反思四個方面介紹了“三角形的中位線”教學設計案例。
關鍵詞：三角形中位線；設計思路；教學過程；板書設計；課后反思
作者簡介：王雪楓，任教于甘肅省蘭州市第四中學。
授課班級：甘肅省蘭州市第四中學九年級（5）班
授課教材：義務教育課程標準實驗教科書《數學》（北師大版）九年級上冊第三章《證明（三）》第一節平行四邊形（第三課時）。
一、設計思路
（一）教材分析
本課時所要探究的三角形中位線定理是學生以前從未接觸過的內容。因此，在教學中通過創設有趣的情境問題，激發學生的學習興趣，注重新舊知識的聯系，強調直觀與抽象的結合，鼓勵學生大膽猜想，大膽探索新穎獨特的證明方法和思路，讓學生充分經歷“探索—發現—猜想—證明”這一過程，體會合情推理與演繹推理在獲得結論的過程中發揮的作用，同時滲透歸納、類比、轉化等數學思想方法。通過本節課的學習，應使學生理解三角形中位線定理不僅指出了三角形的中位線與第三邊的位置關系和數量關系，而且為證明線段之間的位置關系和數量關系（倍分關系）提供了新的思路，從而提高學生分析問題、解決問題的能力。
（二）學情分析
本班學生基礎知識比較扎實，接受新知識的意識較強，對于本章有關平行四邊形的性質和判定的內容掌握較好，但知識遷移能力較差，數學思想方法運用不夠靈活。因此，本節課著眼于基礎，注重能力的培養，積極引導學生首先通過實際操作獲得結論，然后借助于平行四邊形的有關知識進行探索和證明。在此過程中注重知識的遷移同時重點滲透轉化、類比、歸納的數學思想方法，使學生的優勢得以發揮，劣勢得以改進，從而提高學生的整體水平。
三）教學目標
1.知識目標
1）了解三角形中位線的概念。
2）掌握三角形中位線定理的證明和有關應用。
2.能力目標
1） 經歷“探索—發現—猜想—證明”的過程，進一步發展推理論證能力。
2） 能夠用多種方法證明三角形的中位線定理，體會在證明過程中所運用的歸納、類比、轉化等數學思想方法。
3）能夠應用三角形的中位線定理進行有關的論證和計算，逐步提高學生分析問題和解決問題的能力。
3.情感目標
通過學生動手操作、觀察、實驗、推理、猜想、論證等自主探索與合作交流的過程，激發學生的學習興趣，讓學生真正體驗知識的發生和發展過程，培養學生的創新意識。
（四）教學重點與難點
教學重點：三角形中位線的概念與三角形中位線定理的證明.
教學難點：三角形中位線定理的多種證明。
（五）教學方法與學法指導
對于三角形中位線定理的引入采用發現法，在教師的引導下，學生通過探索、猜測等自主探究的方法先獲得結論再去證明。在此過程中，注重對證明思路的啟發和數學思想方法的滲透，提倡證明方法的多樣性，而對于定理的證明過程，則運用多媒體演示。
（六）教具和學具的準備
教具：多媒體、投影儀、三角形紙片、剪刀、常用畫圖工具。
學具：三角形紙片、剪刀、刻度尺、量角器。
二、 教學過程
1.一道趣題——課堂因你而和諧
問題：你能將任意一個三角形分成四個全等的三角形嗎？這四個全等三角形能拼湊成一個平行四邊形嗎？（板書）
（這一問題激發了學生的學習興趣，學生積極主動地加入到課堂教學中，課堂氣氛變得較為和諧，課堂也鮮活起來了。）
學生想出了這樣的方法：順次連接三角形每兩邊的中點，看上去就得到了四個全等的三角形．
如圖中，將△ADE繞E點沿順（逆）時針方向旋轉180°可得平行四邊形ADFE。
問題：你有辦法驗證嗎？
2.一種實驗——課堂因你而生動
學生的驗證方法較多，其中較為典型的方法如下：
生1：沿DE、DF、EF將畫在紙上的△ABC剪開，看四個三角形能否重合。
生2：分別測量四個三角形的三邊長度，判斷是否可利用“SSS”來判定三角形全等。
生3：分別測量四個三角形對應的邊及角，判斷是否可用“SAS、ASA或AAS”判定全等。
引導：上述同學都采用了實驗法，存在誤差，那么如何利用推理論證的方法驗證呢？
3.一種探索——課堂因你而鮮活
師：把連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．（板書）
問題：三角形的中位線與第三邊有怎樣的關系呢？在前面圖1中你能發現什么結論呢？
（學生的思維開始活躍起來，同學之間開始互相討論，積極發言）
學生的結果如下：DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，AE=EC，BF=FC，BD=AD，
△ ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF，DE=BC，DF=AC，EF=AB ……
猜想：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。（板書）
師：如何證明這個猜想的命題呢？
生：先將文字問題轉化為幾何問題然后證明。
已知：DE是ABC的中位線，求證：DE//BC、DE=BC。
學生思考后教師啟發：要證明兩條直線平行，可以利用“三線八角”的有關內容進行轉化，而要證明一條線段的長等于另一條線段長度的一半，可采用將較短的線段延長一倍，或者截取較長線段的一半等方法進行轉化歸納。
（學生積極討論，得出幾種常用方法，大致思路如下）
生1：延長DE到F使EF=DE，連接CF
由 △ADE≌△CFE（SAS）
得 ADFC 從而 BDFC
所以，四邊形DBCF為平行四邊形
得 DFBC
可得 DEBC （板書）
生2：將ADE繞E點沿順（逆）時針方向旋轉180°，使得點A與點C重合，
即 ADE≌CFE，
可得 BDCF，
得 平行四邊形DBCF
得 DFBC 可得 DEBC
生3：延長DE到F使DE=EF，連接AF、CF、CD, 可得 ADCF
得 DBCF
得 DFBC
可得 DEBC
生4：利用△ADE∽△ABC且相似比為1：2
即
可得 DEBC
師：還有其它不同方法嗎？
（學生面面相覷，學生5舉手發言）
4.一種創新——課堂因你而美麗
生5：過點D作DF//BC交AC于點F
則 ADF∽ABC
可得
又 E是AC中點
可得
因此 AE=AF
即 E點與F點重合
所以 DE//BC 且 DE=BC
（筆者事先只局限于思考利用平行四邊形及三角形相似的性質解決問題，沒想到學生的發言如此精彩，為整個課堂添加了不少亮色。）
師：很好，好極了！這種證法在數學中叫做同一法，連老師也沒想到。太棒了，大家要向生5學習，用變化的、動態的、創新的觀點來看問題，努力去尋找更好更簡捷的方法。
5.一種思考——課堂因你而添彩
問題：三角形的中位線與中線有什么區別與聯系呢？
容易得出如下事實：都是三角形內部與邊的中點有關的線段．但中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分．（學生交流、探索、思考、驗證）
6.一種照應——課堂因你而完整
問題：你能利用三角形中位線定理說明本節課開始提出的趣題的合理性嗎？（學生爭先恐后回答，課堂氣氛活躍）
7.一種應用——課堂因你而升華
做一做：任意一個四邊形，將其四邊的中點依次連接起來所得新四邊形的形狀有什么特征？
（學生積極思考發言，師生共同完成此題目的最常見解法。）
已知：四邊形ABCD，點E、F、G、H
分別是四邊的中點，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。
證明：連結AC
∵ E、F分別是AB、BC的中點，
∴ EF是ABC的中位線，
∴ EF∥AC且EF=AC，
同理可得：GH∥AC 且GH=AC，
∴ EFGH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形。（板書）
其它解法由學生口述完成。
8.一種引申——課堂因你而讓人回味無窮
問題：如果將上例中的“任意四邊形”改為“平行四邊形、矩形、菱形、正方形”，結論又會怎么樣呢？（學生作為作業完成。）
9.一句總結——課堂因你而彰顯無窮魅力
學生總結本節內容：三角形的中位線和三角形中位線定理。（另附作業）
三、板書設計
三角形的中位線
1.問題
2.三角形中位線定義
3.三角形中位線定理證明
4.做一做
5.練習
6.小結
四、課后反思
本節課以“如何將一個任意三角形分為四個全等的三角形”這一問題為出發點，以平行四邊形的性質定理和判定定理為橋梁，探究了三角形中位線的基本性質和應用。在本節課中，學生親身經歷了“探索—發現—猜想—證明”的探究過程，體會了證明的必要性和證明方法的多樣性。在此過程中，筆者注重新舊知識的聯系，同時強調轉化、類比、歸納等數學思想方法的恰當應用，達到了預期的目的。
本節課中學生的“同一法”給了我們很多的啟示：雖然在平時的教學中，筆者也盡力放手讓學生們探索和創新．但仔細想想，他們的那些“創新”都局限于事先設計好的范圍之內，而本節課中學生的“同一法”卻是從變化的、動態的觀點去看待問題，完全超出了筆者的“預設”，課堂因此而變得更精彩。筆者深深地感到一個理想的課堂應該是走進孩子們的心里、聽到孩子們心聲的課堂。因為只有融入了孩子們發自內心的感受和愛，課堂才會更加精彩！
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