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一道2006年高考理綜測試題的多種解法探討
一道2006年高考理綜測試題的多種解法探討
原題（2006年高考全國Ⅰ卷理科綜合能力測試第24題）一水平的淺色長傳送帶上放置一煤塊（可視為質點），煤塊與傳送帶之間的動摩擦因素為µ 。初始時，傳送帶與煤塊都是靜止的。現讓傳送帶以恒定的加速度a0開始運動，當其速度達到v0后，便以此速度做勻速運動。經過一段時間，煤塊在傳送帶上留下了一段黑色痕跡后，煤塊相對于傳送帶不再滑動。求此黑色痕跡的長度。
物理情景分析：本題可理解為兩個質點同時運動，求它們相對位移的大小。對于煤塊在摩擦力作用下由靜止開始做勻加速直線運動，末速度為v0，對于煤塊開始與傳送帶的接觸點（A點），先由靜止做加速度為a0的勻加速直線運動，當速度達到v0時，再以v0做勻速運動。解決本題的關鍵就是理清思路求出在煤塊加速到v0這段時間t內，A點移動的位移與煤塊移動的位移之差。下面筆者結合平時的教學實踐介紹以下四種常用解法。
解法一：（利用勻變速運動的基本規律求解）根據“傳送帶上有黑色痕跡”可知，煤塊與傳送帶之間發生了相對滑動，煤塊的加速度a小于傳送帶的加速度a0。由牛頓第二定律可得：a = µg ①
設經歷時間t1傳送帶上A點由靜止加速到v0，煤塊則由靜止加速到v則：v0 =a0t1 ②. V = at1 ③
由于a ＜ a0 ,故 v ＜ v0 .煤塊繼續受到摩擦力的作用，再經過t2煤塊的速度由v增加到v0則：v0 = v + at2 ④ .
此后煤塊與傳送帶運動速度相同，相對于傳送帶不再滑動，不再產生新的痕跡。
設在煤塊由靜止加速到v0的整個過程中，傳送帶上A點和煤塊移動的距離分別為s1和s2 ，則： ⑤，
⑥，
傳送帶上留下的黑色痕跡的長度：△s = s1 – s2 ⑦
由以上各式解得： 。
以上解法是參考答案給出的解法，也是最基本的解法，但解題過程較繁。
解法二：（利用平均速度公式及全過程法求解）因煤塊由靜止到速度增加到v0過程中一直以加速度a = µg 做勻加速運動，則所用時間： ，
通過的位移： 。
對傳送帶上的A點先以加速度a0由靜止開始做勻加速運動，速度達到v0后又做勻速運動。則加速過程所用時間： ；
勻速運動所用時間：；
則A點在t這段時間內發生的位移：
；
故： 。
解法三：（利用速度圖象求解）依據以上分析可在同一坐標系中作出傳送帶上的A點和煤塊的速度圖象，如圖：
由解法二： ； ；
則痕跡的長度應為圖中ΔOCD的“面積”。即
。
解法四：（在非慣性系中求解）以煤塊為參考系，可認為傳送帶上的A點先相對于煤塊做初速度為零，加速度為：；
的勻加速直線運動，經時間后A點相對于傳送帶的速度為： ；
然后傳送帶上的A點又相對與煤塊做勻減速運動，相對于煤塊的末速度為0。整個過程的總的時間為：；
則： 。
除以上四種方法外，在求煤塊的加速運動時間t時，可運用動量定理求出。求煤塊加速運動的位移s2也可用動能定理求出。通過以上解法，要求教師在平時的教學中對學生應加強一題多解、一題多變的訓練。這樣可以培養學生多角度分析、解決問題的能力，拓寬解題思路，開闊視野，啟迪思維，開發智力，達到學以致用的目的。
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