萊蕪市2017中考數學真題試卷及答案
現在的初三同學已經進入中考沖刺復習階段了,下面是應屆畢業生小編為大家分享有關萊蕪市2017中考數學真題試卷及答案，歡迎大家閱讀與學習!
1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，∠A=α，則AC的長為( )
A.2sinα B.2cosα C.2tanα D.2cotα
【考點】銳角三角函數的定義.
【分析】根據銳角三角函數的定義得出cotA=，代入求出即可.
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴cotA=，
∵BC=2，∠A=α，
∴AC=2cotα，
故選D.
【點評】本題考查了銳角三角函數的定義，能熟記銳角三角函數的定義是解此題的關鍵，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，則sinA=，cosA=，tanA=，cotA=.
2.下列拋物線中，過原點的拋物線是( )
A.y=x2﹣1 B.y=(x+1)2 C.y=x2+x D.y=x2﹣x﹣1
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】分別求出x=0時y的值，即可判斷是否過原點.
【解答】解：A、y=x2﹣1中，當x=0時，y=﹣1，不過原點;
B、y=(x+1)2中，當x=0時，y=1，不過原點;
C、y=x2+x中，當x=0時，y=0，過原點;
D、y=x2﹣x﹣1中，當x=0時，y=﹣1，不過原點;
故選：C.
【點評】本題主要考查二次函數圖象上點的坐標特點，熟練掌握拋物線上特殊點的坐標及一般點的坐標的求法是解題的關鍵.
3.小明身高1.5米，在操場的影長為2米，同時測得教學大樓在操場的影長為60米，則教學大樓的高度應為( )
A.45米 B.40米 C.90米 D.80米
【考點】相似三角形的應用.
【專題】應用題.
【分析】在相同時刻，物高與影長組成的直角三角形相似，利用對應邊成比例可得所求的高度.
【解答】解：∵在相同時刻，物高與影長組成的直角三角形相似，
∴1.5：2=教學大樓的高度：60，
解得教學大樓的高度為45米.
故選A.
【點評】考查相似三角形的應用;用到的知識點為：在相同時刻，物高與影長的比相同.
4.已知非零向量，，，下列條件中，不能判定∥的是 ( )
A.∥，∥ B. C. = D. =， =
【考點】*平面向量.
【分析】根據向量的定義對各選項分析判斷后利用排除法求解.
【解答】解：A、∥，∥，則、都與平行，三個向量都互相平行，故本選項錯誤;
B、表示兩個向量的模的數量關系，方向不一定相同，故不一定平行，故本選項正確;
C、=，說明兩個向量方向相反，互相平行，故本選項錯誤;
D、=， =，則、都與平行，三個向量都互相平行，故本選項錯誤;
故選：B.
【點評】本題考查了平面向量，主要利用了向量平行的判定，是基礎題.
5.如圖，在?ABCD中，點E是邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F.下列各式中，錯誤的是( )
A. B. C. D.
【考點】相似三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
【分析】根據平行四邊形的性質和相似三角形的性質求解.
【解答】解：∵AD∥BC
∴=，故A正確;
∵CD∥BE，AB=CD，
∴△CDF∽△EBC
∴=，故B正確;
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△EBC
∴=，故D正確.
∴C錯誤.
故選C.
【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵.
6.如圖，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分別是AC、AB邊上的高，聯結EF，那么△AEF和△ABC的周長比為( )
A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.1：9
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF與△ABC的周長比=AE：AB，根據cosA==，即可解決問題.
【解答】解：∵BE、CF分別是AC、AB邊上的高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△AFC，
∴=，
∴=，∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴△AEF與△ABC的周長比=AE：AB，
∵cosA==，
∴∴△AEF與△ABC的周長比=AE：AB=1：3，
故選B.
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用相似三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型.
二、填空題：(本大題共12題，每題4分，滿分48分)
7.已知，則的值為 .
【考點】比例的性質.
【分析】用a表示出b，然后代入比例式進行計算即可得解.
【解答】解：∵ =，
∴b=a，
∴==.
故答案為：.
【點評】本題考查了比例的性質，用a表示出b是解題的關鍵.
8.計算：(﹣3)﹣(+2)= .
【考點】*平面向量.
【分析】根據平面向量的加法計算法則和向量數乘的結合律進行計算.
【解答】解：：(﹣3)﹣(+2)=﹣3﹣﹣×2)=.
故答案是：.
【點評】本題考查了平面向量，熟記計算法則即可解題，屬于基礎題型.
9.已知拋物線y=(k﹣1)x2+3x的開口向下，那么k的取值范圍是 k<1 .
【考點】二次函數的性質.
【分析】由開口向下可得到關于k的不等式，可求得k的取值范圍.
【解答】解：
∵y=(k﹣1)x2+3x的開口向下，
∴k﹣1<0，解得k<1，
故答案為：k<1.
【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的開口方向與二次項系數有關是解題的關鍵.
10.把拋物線y=x2向右平移4個單位，所得拋物線的解析式為 y=(x﹣4)2 .
【考點】二次函數圖象與幾何變換.
【分析】直接根據“左加右減”的原則進行解答即可.
【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將y=x2向右平移4個單位，所得函數解析式為：y=(x﹣4)2.
故答案為：y=(x﹣4)2.
【點評】本題考查的是函數圖象平移的法則，根據“上加下減，左加右減”得出是解題關鍵.
11.已知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB的長是 8 .
【考點】解直角三角形.
【專題】計算題;等腰三角形與直角三角形.
【分析】利用銳角三角函數定義求出所求即可.
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，
∴sinA=，即=，
解得：AB=8，
故答案為：8
【點評】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數定義是解本題的關鍵.
12.如圖，已知AB∥CD∥EF，它們依次交直線l1、l2于點A、C、E和點B、D、F，如果AC：CE=3：5，BF=9，那么DF= .
【考點】平行線分線段成比例.
【分析】根據平行線分線段成比例定理即可得到結論.
【解答】解：∵AC：CE=3：5，
∴AC：AE=3：8，
∵AB∥CD∥EF，
∴，
∴BD=，
∴DF=，
故答案為：.
【點評】本題考查平行線分線段成比例定理，關鍵是找出對應的比例線段，寫出比例式，用到的知識點是平行線分線段成比例定理.
13.已知點A(2，y1)、B(5，y2)在拋物線y=﹣x2+1上，那么y1 > y2.(填“>”、“=”或“<”)
【考點】二次函數圖象上點的坐標特征.
【分析】分別計算自變量為2、5時的函數值，然后比較函數值的大小即可.
【解答】解：當x=2時，y1=﹣x2+1=﹣3;
當x=5時，y2=﹣x2+1=﹣24;
∵﹣3>﹣24，
∴y1>y2.
故答案為：>
【點評】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.也考查了二次函數的性質.
14.已知拋物線y=ax2+bx+c過(﹣1，1)和(5，1)兩點，那么該拋物線的對稱軸是直線 x=2 .
【考點】二次函數的性質.
【分析】根據函數值相等的點到對稱軸的距離相等可求得答案.
【解答】解：
∵拋物線y=ax2+bx+c過(﹣1，1)和(5，1)兩點，
∴對稱軸為x==2，
故答案為：x=2.
【點評】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數值相等的點到對稱軸的距離相等是解題的關鍵.
15.在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，垂足為D，BE是△ABC 的中線，AD與BE相交于點G，那么AG的長為 2 .
【考點】三角形的重心;等腰三角形的性質;勾股定理.
【分析】先根據等腰三角形的性質和勾股定理求出AD，再判斷點G為△ABC的重心，然后根據三角形重心的性質來求AG的長.
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD==3，
∵中線BE與高AD相交于點G，
∴點G為△ABC的重心，
∴AG=3×=2，
故答案為：2
【點評】本題考查了等腰三角形的`性質和勾股定理以及三角形的重心的性質，判斷點G為三角形的重心是解題的關鍵.
16.在一個距離地面5米高的平臺上測得一旗桿底部的俯角為30°，旗桿頂部的仰角為45°，則該旗桿的高度為 5+5 米.(結果保留根號)
【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
【分析】CF⊥AB于點F，構成兩個直角三角形.運用三角函數定義分別求出AF和BF，即可解答.
【解答】解：作CF⊥AB于點F.
根據題意可得：在△FBC中，有BF=CE=5米.
在△AFC中，有AF=FC×tan30°=5米.
則AB=AF+BF=5+5米
故答案為：5+5.
【點評】本題考查俯角、仰角的定義，要求學生能借助其關系構造直角三角形并解直角三角形.
17.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為 .
【考點】線段垂直平分線的性質.
【專題】探究型.
【分析】設CE=x，連接AE，由線段垂直平分線的性質可知AE=BE=BC+CE，在Rt△ACE中，利用勾股定理即可求出CE的長度.
【解答】解：設CE=x，連接AE，
∵DE是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE=BC+CE=3+x，
∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即(3+x)2=42+x2，
解得x=.
故答案為：.
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，即線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.
18.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，把△ABC繞著點C旋轉，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E，則點A、E之間的距離為 4 .
【考點】旋轉的性質;解直角三角形.
【分析】先解直角△ABC，得出BC=AB•cosB=9×=6，AC==3.再根據旋轉的性質得出BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，利用等邊對等角以及三角形內角和定理得出∠B=∠CAE.作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，∠BCM=∠ACN.解直角△ANC求出AN=AC•cos∠CAN=3×=2，根據等腰三角形三線合一的性質得出AE=2AN=4.
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AB=9，cosB=，
∴BC=AB•cosB=9×=6，AC==3.
∵把△ABC繞著點C旋轉，使點B與AB邊上的點D重合，點A落在點E，
∴△ABC≌△EDC，BC=DC=6，AC=EC=3，∠BCD=∠ACE，
∴∠B=∠CAE.
作CM⊥BD于M，作CN⊥AE于N，則∠BCM=∠BCD，∠ACN=∠ACE，
∴∠BCM=∠ACN.
∵在△ANC中，∠ANC=90°，AC=3，cos∠CAN=cosB=，
∴AN=AC•cos∠CAN=3×=2，
∴AE=2AN=4.
故答案為4.
【點評】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等;對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角;旋轉前、后的圖形全等.也考查了解直角三角形以及等腰三角形的性質.
三、解答題：(本大題共7題，滿分78分)
19.計算：.
【考點】實數的運算;特殊角的三角函數值.
【分析】直接將特殊角的三角函數值代入求出答案.
【解答】解：原式=
=
=
=.
【點評】此題主要考查了實數運算，正確記憶特殊角的三角函數值是解題關鍵.
20.如圖，已知點D是△ABC的邊BC上一點，且BD=CD，設=， =.
(1)求向量(用向量、表示);
(2)求作向量在、方向上的分向量.
(不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結論的向量)
【考點】*平面向量.
【分析】(1)在△ABD中，利用平面向量的三角形加法則進行計算;
(2)根據向量加法的平行四邊形法則，過向量的起點作BC的平行線，即可得出向量向量在、方向上的分向量.
【解答】解：(1)∵，
∴
∵，
∴
∵，且
∴;
(2)解：如圖，
所以，向量、即為所求的分向量.
【點評】本題考查平面向量，需要掌握一向量在另一向量方向上的分量的定義，以及向量加法的平行四邊形法則.
21.如圖，已知AC∥BD，AB和CD相交于點E，AC=6，BD=4，F是BC上一點，S△BEF：S△EFC=2：3.
(1)求EF的長;
(2)如果△BEF的面積為4，求△ABC的面積.
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)先根據S△BEF：S△EFC=2：3得出CF：BF的值，再由平行線分線段成比例定理即可得出結論;
(2)先根據AC∥BD，EF∥BD得出EF∥AC，故△BEF∽△ABC，再由相似三角形的性質即可得出結論.
【解答】解：(1)∵AC∥BD，
∴
∵AC=6，BD=4，
∴
∵△BEF和△CEF同高，且S△BEF：S△CEF=2：3，
∴，
∴.
∴EF∥BD，
∴，
∴，
∴
(2)∵AC∥BD，EF∥BD，
∴EF∥AC，
∴△BEF∽△ABC，
∴.
∵，
∴.
∵S△BEF=4，
∴，
∴S△ABC=25.
【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵.
22.某大型購物商場在一樓和二樓之間安裝自動扶梯AC，截面如圖所示，一樓和二樓地面平行(即AB所在的直線與CD平行)，層高AD為8米，∠ACD=20°，為使得顧客乘坐自動扶梯時不至于碰頭，A、B之間必須達到一定的距離.
(1)要使身高2.26米的姚明乘坐自動扶梯時不碰頭，那么A、B之間的距離至少要多少米?(精確到0.1米)
(2)如果自動扶梯改為由AE、EF、FC三段組成(如圖中虛線所示)，中間段EF為平臺(即EF∥DC)，AE段和FC段的坡度i=1：2，求平臺EF的長度.(精確到0.1米)
(參考數據：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)
【考點】解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
【分析】(1)連接AB，作BG⊥AB交AC于點G，在Rt△ABG中，利用已知條件求出AB的長即可;
(2)設直線EF交AD于點P，作CQ⊥EF于點Q，設AP=x，則PE=2x，PD=8﹣x，在Rt△ACD中利用已知數據可求出CD的長，進而可求出臺EF的長度.
【解答】解：(1)連接AB，作BG⊥AB交AC于點G，則∠ABG=90°
∵AB∥CD，∴∠BAG=∠ACD=20°，
在Rt△ABG中，，
∵BG=2.26，tan20°≈0.36，
∴，
∴AB≈6.3，
答：A、B之間的距離至少要6.3米.
(2)設直線EF交AD于點P，作CQ⊥EF于點Q，
∵AE和FC的坡度為1：2，
∴，
設AP=x，則PE=2x，PD=8﹣x，
∵EF∥DC，
∴CQ=PD=8﹣x，
∴FQ=2(8﹣x)=16﹣2x，
在Rt△ACD中，，
∵AD=8，∠ACD=20°，
∴CD≈22.22
∵PE+EF+FQ=CD，
∴2x+EF+16﹣2x=22.22，
∴EF=6.22≈6.2
答：平臺EF的長度約為6.2米.
【點評】此題考查了解直角三角形的應用，用到的知識點是坡度角，關鍵是根據題意做出輔助線，構造直角三角形.
23.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB上的中點，E是邊BC上的點，AE與CD交于點F，且AC2=CE•CB.
(1)求證：AE⊥CD;
(2)連接BF，如果點E是BC中點，求證：∠EBF=∠EAB.
【考點】相似三角形的判定與性質.
【分析】(1)先根據題意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性質得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，進而可得出∠AFC=90°;
(2)根據AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由點E是BC的中點可知CE=BE，故，根據∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，進而可得出結論.
【解答】證明：(1)∵AC2=CE•CB，
∴.
又∵∠ACB=∠ECA=90°
∴△ACB∽△ECA，
∴∠ABC=∠EAC.
∵點D是AB的中點，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠CAD
∵∠CAD+∠ABC=90°，
∴∠ACD+∠EAC=90°
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD
(2)∵AE⊥CD，
∴∠EFC=90°，
∴∠ACE=∠EFC
又∵∠AEC=∠CEF，
∴△ECF∽△EAC
∴
∵點E是BC的中點，
∴CE=BE，
∴
∵∠BEF=∠AEB，
∴△BEF∽△AEB
∴∠EBF=∠EAB.
【點評】本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵.
24.如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c過點B(3，0)，C(0，3)，D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式以及頂點坐標;
(2)點C關于拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸的對稱點為E點，聯結BC，BE，求∠CBE的正切值;
(3)點M是拋物線對稱軸上一點，且△DMB和△BCE相似，求點M坐標.
【考點】二次函數綜合題.
【分析】(1)利用待定系數法求出二次函數的解析式，根據二次函數的性質解答即可;
(2)過點E作EH⊥BC于點H，根據軸對稱的性質求出點E的坐標，根據三角形的面積公式求出EH、BH，根據正切的定義計算即可;
(3)分和兩種情況，計算即可.
【解答】解：(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B(3，0)和點C(0，3)
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴拋物線頂點D的坐標為(1，4)，
(2)由(1)可知拋物線對稱軸為直線x=1，
∵點E與點C(0，3)關于直線x=1對稱，
∴點E(2，3)，
過點E作EH⊥BC于點H，
∵OC=OB=3，
∴BC=，
∵，CE=2，
∴，
解得EH=，
∵∠ECH=∠CBO=45°，
∴CH=EH=，
∴BH=2，
∴在Rt△BEH中，;
(3)當點M在點D的下方時
設M(1，m)，對稱軸交x軸于點P，則P(1，0)，
∴BP=2，DP=4，
∴，
∵，∠CBE、∠BDP均為銳角，
∴∠CBE=∠BDP，
∵△DMB與△BEC相似，
∴或，
①，
∵DM=4﹣m，，，
∴，
解得，，
∴點M(1，)
②，則，
解得m=﹣2，
∴點M(1，﹣2)，
當點M在點D的上方時，根據題意知點M不存在.
綜上所述，點M的坐標為(1，)或(1，﹣2).
【點評】本題考查的是二次函數知識的綜合運用、相似三角形的判定和性質，掌握待定系數法求二次函數解析式的一般步驟、熟記相似三角形的判定定理和性質定理、掌握二次函數的性質、靈活運用數形結合思想是解題的關鍵.
25.如圖，已知四邊形ABCD是矩形，cot∠ADB=，AB=16.點E在射線BC上，點F在線段BD上，且∠DEF=∠ADB.
(1)求線段BD的長;
(2)設BE=x，△DEF的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出函數定義域;
(3)當△DEF為等腰三角形時，求線段BE的長.
【考點】四邊形綜合題.
【分析】(1)由矩形的性質和三角函數定義求出AD，由勾股定理求出BD即可;
(2)證明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出結果;
(3)當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，分情況討論：
①當BE=BD時;②當DE=DB時;③當EB=ED時;分別求出BE即可.
【解答】解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，，AB=16，
∴AD=12∴;
(2)∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x﹣12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，，
∵，
∴，
∴，定義域為0
(3)∵△EDF∽△BDE，
∴當△DEF是等腰三角形時，△BDE也是等腰三角形，
①當BE=BD時
∵BD=20，∴BE=20
②當DE=DB時，
∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，
∴BE=24;
③當EB=ED時，
作EH⊥BD于H，則BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，
即
∴，
解得：BE=;
綜上所述，當△DEF時等腰三角形時，線段BE的長為20或24或.
【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、三角函數定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識;本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題的關鍵.
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